Абсурдная арифметика: как решать простые задачи

У Пети есть 3 яблока. У Зины — два. Сколько у Пети и Зины получится яблок в сумме?

— Конечно же пять! — восторженно воскликнет читатель, и пуская пузыри, посмотрит на нас полными надежд на отличную оценку глазами.

— Конечно же пять! — не будем спорить мы и радостно похлопаем читателя по плечу: не забыл ещё, сорванец, математики.

Действительно, задачка решается на раз-два: 

3 яблока + 2 яблока = 5 

И на этом можно дружно пожимать друг другу руки и идти собирать урожай. Но не тут-то было. Пора уже читателю снять квадратные очки и выйти из-за школьной парты.

В задаче чётко обозначено: 3 яблока и 2 яблока. А кто-то видел эти яблоки? Их кто-то проверял, взвешивал? Как это мы могли пропустить знакомую до дыр процедуру проверки яблок в магазине и подумать, что для задачи нам где-то раздобудут 5 совершенно одинаковых плодов? Кто-то проверял эти фрукты по другим параметрам, например, на червивость, на съедобность, на доломитовую муку, на отцовское благословение?

Нет. А если бы проверили, удивились бы результату. Потому что 3 яблока по весу могли бы едва дотянуть до веса двух. Два яблока едва ли можно считать за одно, потому что второе ещё не созрело.

Яблоко Зины клевал дрозд, яблоки Пети сделаны из папье-маше. Кроме того, один из фигурантов использовал для задачи надкусанный фрукт. Разве это яблоко вообще?

Вот и выходит, что 3 + 2 не всегда = 5, если условия изменятся.

Ну что, читатель, уже чувствуешь, как волосы на голове слегка зашевелились? Погоди, это мы только-только к измерениями подобрались, дальше самый витамин будет.  

Итак, измерения произошли от слова «мера»: мера длины, мера ширины, мера высоты. К этим мерам позже присоединились другие меры — мера времени, мера скорости, мера силы, мера температуры. Мир перестал быть просто миром — он стал набором величин, которые можно измерить, сравнить, положить на линейку. А сама мера стала одной из сторон договора: «расстояние от кончика носа и до большого пальца моей руки — ярд. Никто не возражает?» Именно так, согласно исторической легенде, Генрих I решил измерять длину.

А потом пришли физики и всё испортили. Они рискнули предположить, что мера — это не «договор», а всего лишь обстоятельство. Например, расстояние от кончика носа до большого пальца руки могло быть больше, чем 91,44 см (этой величине равняется тот самый ярд), и обстоятельств таких может быть много, и они влияют на погрешность вычислений, значит, от них кое-что зависит.

Физики смекнули, что если взвешивать яблоко на кухонных весах, оно будет весить 100 граммов. Но это же самое яблоко на аптекарских весах уменьшится и будет весить уже 99,8 грамм. А если положить яблоко на лабораторные весы, оно снова прибавит и будет весить 100,03 грамм. Яблоко не поменялось, оно всё такое же кисло-сладкое и всё так же манит вас своим румяным боком. Поменялись измерения, то есть обстоятельства, и поэтому яблоко может быть одновременно и большим и маленьким.

Здравствуйте. Так как бы решали задачу про яблоки продвинутые физики? А никак. Продвинутый физик сначала спросит:

• Что мы считаем яблоком? Целый плод или надкусанный тоже? Считаем ли мы яблоком муляж из папье-маше, подкрашенный натуральным соком? И считаем ли мы яблоком червивый плод?
• Кто будет считать яблоки? Петя? Зина? Сторонний наблюдатель с синдромом Дауна? Искусственный интеллект, обученный на датасете «овощи-фрукты»?
• И вообще, зачем считать эти злосчастные яблоки? Чтобы их съесть? Чтобы продать? Чтобы решить задачу из учебника? От цели зависит погрешность, а от погрешности — право округлять, потому что в реальном мире яблоки не бывают идеальными. И чем точнее мы хотим измерить результат, тем больше должны знать об обстоятельствах.
  

Физик вернётся с решением, в котором будет записано измерение экспериментально подтверждённой совокупности плодов, обладающих некоторыми признаками яблок, в количестве пяти штук, с погрешностью ±0,5 яблока (потому что одно подозрительное).

Проблема в том, что нас научили считать, но не измерять. Нас научили видеть цифры, но не задумываться над тем, какие обстоятельства стоят за каждым значением. Оценки, рейтинги, кредитные баллы, лайки, просмотры — мы везде видим числа, но никто не сопровождает их сводкой: «при измерении учитывались следующие обстоятельства».

Поэтому в обычной жизни, когда вам снова покажется, что вы знаете единственно верный ответ, вспомните про обстоятельства. Они превращают правильный ответ в один из возможных, а единственный — в спорный. А если вам не нравится ответ, меняйте обстоятельства.

И вот у нас перед глазами всё та же задача. У Пети есть 3 яблока. У Зины — два. Сколько у Пети и Зины получится яблок в сумме?

Тоже мне, выпускники ВУЗов, а решить несложную задачу не в состоянии. И потом, кто вам сказал, что её вообще нужно решать?

Вот, например, древнегреческий философ Гераклит Эфесский задал бы естественный вопрос: «Ваша задача до сих пор актуальна? Пока вы тут таращили глаза и рассуждали про измерения, яблоки Пети успели чуть подгнить. Яблоко Зины скатилось со стола и сейчас больше напоминает гнилой шиитак. Пока вы возились с текстом, все яблоки кто-то понадкусывал. Поэтому я спрошу ещё раз: «Ваша задача до сих пор актуальна?»

А ведь Гераклид абсолютно прав! Нельзя войти дважды в одну и ту же задачу с яблоками, потому что сумма яблок в каждый момент времени будет разная:

В момент t₁: у Пети есть 3 яблока, у Зины – 2. Сумма = 5.

В момент t₂: яблоко Пети съел червь. Сумма = 4.

В момент t₃: яблоко Зины унесла собака. Сумма = 3.

В момент t₄: Петя отдал одно яблоко Зине. Сумма = 2.

Так какой же будет ответ? А никакой.

Мы привыкли думать, что предметы стабильны во времени. Гераклит напоминает, что это — удобная для бухгалтерии иллюзия, но не для жизни. Код, который работал вчера, сегодня может упасть, потому что поменялась библиотека. В начале спринта у команды 5 задач, но на третий день две задачи превратились в три, соответственно, количество незавершённых дел изменилось. Рыночная доля, курс акций, лояльность клиентов — всё это реки, которые нельзя измерить один раз.

Чувствуешь, читатель, как последние школьные и институтские годы сплелись в единый ком? То, что мы привыкли называть «суммой», — всего лишь мгновенный снимок того, что уже изменилось. Пока вы читаете эту статью, яблок становится больше. Или меньше. 

Значит ли это, что любые подсчёты бессмысленны?

Вовсе нет. Просто мы привыкли путать карту и территорию. Сумма в 5 яблок — это карта. А реальные события с червями, собаками и обменами — это территория. Карта полезна, пока мы помним, что она не равна территории. Наша беда не в том, что мы научились складывать, а в том, что мы пытаемся применить статичную арифметику к живому миру и искренне удивляемся, когда жизнь её не принимает.

И здесь, пожалуй, единственное, что мы можем сделать — научиться жить с этой двойственностью. Да, мы будем говорить «3 + 2 = 5». Да, мы будем строить планы, считать ресурсы, дедлайны и проценты. Но при этом мы будем помнить: всё это — лишь мгновенные снимки. До тех пор, пока мы держим в уме поправку на червя, собаку и щедрость Пети, мы не впадём в иллюзию контроля.

А ещё мы перестанем стыдить тех, кто не решает задачи «как надо». Потому что, возможно, они просто увидели то, что мы пропустили: правильный ответ часто важнее правильных цифр. И иногда самое мудрое, что можно сделать с условием — это сказать: «А давайте сначала проверим, что яблоки настоящие?»

И вот тогда мы перестанем быть средними «выпускниками, которые не могут решить задачу». Мы станем людьми, которые понимают: задачи нужны, чтобы тренировать ум, а жизнь — чтобы напоминать, что ум без внимания к изменениям — всего лишь быстрый счётчик, который не знает, когда пора остановиться.

Все помнят условие задачи? У Пети есть 3 яблока. У Зины — два. Сколько у Пети и Зины получится яблок в сумме?

Интересно, каким на этот раз будет ответ? Никто не знает, потому что вы опять по привычке складываете предметы — плоды, а нужно объединять их ценность. Цифра 5 передаёт количество, но не ценность. Если вы не отличаете первое от второго, вас обманут при первом же обмене.

Петя три года выращивал свои яблоки: поливал, удобрял, отгонял вредителей. Для него каждое яблоко — это воспоминание, труд и любовь. Поэтому для него три тугих яблока стоят как десять парафиновых копий из супермаркета. Зина сорвала два яблока по дороге и, вообще, больше хотела грушу.

Для Пети его три яблока плюс Зинины два в сумме дадут 12 (потому что свои плоды он ценит высоко, а чужие яблоки зачем ценить?).

Для Зины её два яблока плюс Петины три в сумме дадут 3 (потому что свои яблоки она не ценит, а чужие — тем более).

Рынок оценит 5 штук яблок по средней цифре.

Чёрный рынок оценит яблоки чуть выше среднего, потому что дефицит.

Голодный ребёнок оценит яблоки, как наивысшее благо, потому что не ел три дня.

Экономисты австрийской школы даже заготовили формулу на такой случай:

3 + 2 = X,
где X зависит от того, кто оценивает предмет, в какой ситуации и с какой шкалой ценностей.

У каждого человека свои весы, оттого и ценность продукта не может быть аддитивна. Проблема в том, что рынок плюнет на ваши переживания, потому что рынок — это бездушный агрегатор чужих субъективностей. И вы либо согласитесь, либо уйдёте ни с чем. 

Никто не придёт и не измерит вашу ценность за вас. Если Петя считает, что его три яблока дороже любых других, — он имеет полное право сказать себе: «Я не буду продавать их первому встречному».

Если Зине плевать на яблоки — пусть не удивляется, что её яблоки никто не ценит. Если вы хотите получить за свою работу больше, чем среднюю зарплату по рынку, — вам придётся объяснять свою ценность, а не ждать, что рынок сам о ней догадается.

Научитесь складывать как все, но оценивать как никто другой. И вот это умение — не путать рыночную цену и собственную ценность — и есть то, зачем мы вообще затеяли этот разговор про яблоки и австрийскую школу. Потому что если однажды вы продадите то, что для вас бесценно по средней рыночной ставке — никакой экономист вас не утешит. А если вы научитесь в нужный момент говорить «нет, мои яблоки не для этого рынка» — вы будете свободнее любого выпускника, который решил задачу на пять.

Вот так мало-помалу задача становится трансцендентной. А всего-то: у Пети есть 3 яблока, у Зины — два. Сколько у Пети и Зины получится яблок в сумме?

Если ни одна из наук не может дать точного решения, может быть, стоит прибегнуть к философским измышлениям? Кто-то задумывался о том, откуда взялись яблоки? Посудите сами: земля, на которой выросла яблоня, — общая. Солнце, дождь, минералы в почве — принадлежат всему народу. Получается, что Петя с Зиной присвоили результат чужого труда, а мы теперь, как кровожадные хищники пытаемся складывать их добычу, словно так и надо.

— Погодите, — возразит нам пытливый читатель. — Но Петя поливал яблоню, удобрял почву, отгонял вредителей. Зина полола и собирала урожай. Разве их труд не считается?

— Труд — да, — улыбаемся мы и достаём с полки труды Карла Маркса, — но земля, вода, воздух — нет. Справедливая система должна отличать то, что создано человеком, от того, что дано природой бесплатно. И если вы не проводите этой разницы, значит, называете «честным» присвоение общего.

Справедливая сумма должна считаться иначе: не по количеству яблок, а по количеству труда в каждом яблоке. И распределять яблоки нужно тоже иначе: «От каждого по способностям, каждому по потребностям». Тогда правильный вопрос в задаче будет звучать иначе: «как сделать так, чтобы Петя и Зина не были эксплуататорами или эксплуатируемыми?»

Эвона как марксисты завернули, ещё и формулу припасли:

3 + 2 = (прибавочный продукт, который надо перераспределить)

От общего урожая в 5 яблок каждый имеет право на часть, которая обеспечена его трудом. Но если в руках у Пети и Зины есть «яблоко природы», которое выросло само, его судьбу должны решать не Петя с Зиной, а все, кто имеет право на общее достояние.

Мы привыкли считать результат, не обращая внимания на условия производства результата. А если бы обращали, то выяснили бы, что 5 может быть несправедливым числом, даже если арифметика верна. Петя получает копейки, потому что его труд, его любовь, его бессонные ночи не учитываются, потому что рынок берёт среднее значение, а кто-то другой присваивает разницу и уходит с прибылью, пока Петя чешет затылок.

Теперь уберите из задачи яблоки и поставьте себя на место Пети.

Вы работаете, вкладываете душу, задерживаетесь допоздна, делаете лучше, чем требуется, а вам платят «среднерыночную ставку» и говорят: «Не нравится — увольняйтесь, у нас на ваше место очередь стоит».

Где в этой фразе три года полива? Где ваши бессонные ночи? Где ваша любовь к делу? Их нет. Потому что рынок — это машина, которая умеет только складывать и делить. И если вы не научитесь отстаивать свою ценность, кто-то другой будет присваивать разницу между тем, сколько вы стоите на самом деле, и тем, сколько за вас дали.

В спорах о налогах марксист напомнил бы, что мы платим не «дяде», а возвращаем часть того, что получили бесплатно от общества и природы. Дороги, школы, армия, чистая вода — всё это общий вклад.

Вы добились всего сами. Точно? Никто не помогал советом? Никто не давал стартовый капитал? Никто не строил дорогу к вашему офису? Никто не защищал страну, пока вы работали? Марксист скажет: «ваше ”я сам” — это тоже присвоение общего».

Марксист не отменяет пятёрку. Он говорит, что за каждой цифрой стоит история: кто создал ценность, кому она досталась и почему считается справедливой. Вместо сложения имеющихся продуктов, марксист попросит вас ответить на вопрос: «А кому я обязан тем, что могу собирать урожай в безопасности и чистоте?»

И если вы ответите честно, то не будете судить того, у кого яблок меньше. Потому что он, возможно, просто родился в другом месте, например, там, где росли апельсины.

3 + 2 = 5 скажут те, кто никогда не растил яблоки. А те, кто растил, просто промолчат.

У Пети по-прежнему есть 3 яблока. У Зины их по-прежнему два. И нам по-прежнему нужно найти общую сумму их яблок.

Что, читатель, снова будешь настаивать на ответе 5? Оно и правильно. Нечего нас сбивать истинно-математического пути. Или ты настаиваешь на цифре 5 только потому, что не видишь никаких других решений, кроме сложения всех яблок? Так мы подскажем. В дело снова вернётся математика, правда, другая — фундаментальная.

Нас всех учили с детства верить своим глазам, и с этим навыком сложно спорить: мы видим яблоки, значит перед нами яблоки. Что, если мы не видим самого важного — формы?

В математическом смысле яблоко — это замкнутая поверхность без дыр, которую можно непрерывно деформировать. Мы привыкли оценивать мир количеством штук:
у меня один телефон, две пластиковых карты в кошельке, три помады в одной косметичке и четыре пары носков. Но если вдруг какая-то вещь придёт в негодность, мы начинаем импровизировать с формой, а не пересчитывать предметы. Например, мы можем заменить потерявшийся колпачок от помады другим колпачком, и у нас снова получится одна помада. Или из двух рваных носков можно попытаться сделать один. Фундаментальные математики настаивают на том, чтобы мы научились видеть форму — как мы можем деформировать и превращать предмет в другой предмет без разрывов.

Это же какие открываются возможности! Можно больше не думать «эта вещь сломалась, надо купить новую». Можно иначе смотреть на макулатуру и мусор, клетки и пространство. Фундаментальные учёные давно это поняли, поэтому изучают свойства одного предмета для того, чтобы применить их на другом. Например, линии и станции метро имеют схожесть с элементами платы — дорожками и микросхемами. Тот, кто понимает, как легко развести дорожки в плате, чтобы они не замыкали, легко спроектирует новую ветку метро так, чтобы она не пересекала существующие. Тот, кто понимает, что галстук и ДНК — это лента, которую можно закручивать определённым образом, понимает, что ферменты ДНК делают узлы, подобно виндзорским узлам галстука, когда скручивают её перед делением клетки. Учёные, изучая галстуки, поняли, как ферменты работают с ДНК. А изучая ДНК, придумали новые узлы для скалолазов и хирургии.

Но вернёмся к нашей задаче про яблоки. Если мы разъединим и соединим колпачок и помаду, у нас получится одна помада. Если мы деформируем два носка, а потом сошьём получившиеся лоскуты, у нас получится один носок. Если мы разрежем все имеющиеся в задаче яблоки, а потом соединим (то есть сложим) появившиеся кусочки, у нас получится одно яблоко. 

Следовательно:

3 + 2 = 1

И если мы будем деформировать, а потом заново соединять все предметы одинаковой формы, результат будет всегда равняться 1.

Ну и куда же подевалась ваша стабильная цифра 5?

В данном случае математики приблизили нас к вариативности мышления и дали нам ещё один способ смотреть на вещи. Если в обычной жизни привычный ответ перестал работать — возможно, вы просто задаёте не тот вопрос. Попробуйте поменять угол зрения. Посмотрите на форму, на возможность, на связь с тем, что на первый взгляд не связано.

Кажется, Анри Пуанкаре, только что с нами согласился.

Мы снова топчемся на месте и повторяем условие задачи.
У Пети есть 3 яблока. У Зины — два. Сколько у Пети и Зины получится яблок в сумме?

Неужели эта задача уже перестала вам казаться простой? И правильно! Потому что сейчас мы добрались до места, где арифметика окончательно перестаёт быть единственной владычицей. Мы уже приняли тот факт, что яблоки бывают разными да и не яблоки это вовсе, а формы. Теперь приготовьтесь к тому, что само сложение — не священный ритуал.

Допустим, герои нашей статьи кладут яблоки не в корину, а на циферблат. Но не на обычный, где 12 часов, а на крошечный, где всего 4 деления: 0, 1, 2, 3.

Петя кладёт свои 3 яблока на отметки 0, 1 и 2. Зина добавляет свои яблоки на отметку
3 и… Стоп. А больше отметок нет, потому что после 3 на этом циферблате снова идёт 0.

Как так 0? А вот так: 4 на этом циферблате занимает то же положение, что и 0. Как в сутках 24 часа: 24:00 — это то же самое, что 00:00. Просто на нашем циферблате сутки длятся меньше.

Вот и выходит, что:

3 + 2 ≡ 0 (mod 4)

Это значит: «Три плюс два сравнимо с нулём по модулю четыре».

Сумма обнулилась не потому, что кто-то съел яблоки, и не потому, что они испортились. Она обнулилась, потому что для решения задачи мы выбрали мир с периодом 4. Это не финт, не увёртка, не ошибка в вычислениях. Это свойство выбранной математической структуры.

Всё ещё считаешь учёных сумасшедшими? Зря. Цвета в старых системах кодировались числами от 0 до 255. Если к 255 цветам случайно прибавляли дополнительный цвет, получали переполнение, отчего яркий цвет внезапно становился чёрным. Дизайнеры называли это явление «баг с переполнением» и долго придумывали, как его обойти.

В октаве всего 7 нот: после ноты «си» идёт нота «до» следующей октавы. Восьмой ноты попросту не существует, точнее, она есть, но является первой нотой следующей октавы.

Биткоины не заканчиваются, потому что там всё работает по модулю огромного простого числа. Смена караулов, дежурств, производственных циклов — живут по модулю N. Седьмой день недели — выходной, а за выходным днём идёт не восьмой день, а первый. 

Это особенность цикличного мира, которую мы предпочитаем не замечать до тех пор, пока не случается переполнение.

В задаче про яблоки ответ «3 + 2 = 0 (mod 4)» будет таким же верным, как и ответ «5». Просто он будет верным в другой системе координат, внутри других правил. Вы не обязаны соглашаться. Вы не обязаны менять свою систему. Но вы можете знать, что сами вольны выбирать систему для вычислений.

Итак, мы вернулись к тому, с чего начали. У Пети есть 3 яблока, у Зины — два. Сколько у Пети и Зины получится яблок в сумме?

Имеет ли задача решение? Вы уверены, что яблоки существуют? Кто их видел? Мы можем подержать в руках хоть одно из этих яблок? Нет. Потому что мы имеем дело со словами, со знаками «яблоко».

Петино яблоко — симулякр первого порядка: имитация реальности, которая выглядит убедительно. Зинины два — симулякр третьего порядка: знак, у которого уже нет оригинала, но мы всё равно готовы его складывать. А наша уверенность, что 3 + 2 = 5, является симулякром четвёртого порядка — чистой симуляцией счёта, которая не нуждается в реальности. Она работает, потому что мы согласились, что она работает.

Французский философ Жан Бодрийяр назвал бы это гиперреальностью — миром, где знаки заменили реальность настолько, что реальность уже не нужна, а затем предложил формулу:

3 + 2 = ☐

Ответ любой, который вы примете за реальность. Или никакой. Или 🐟.

Мы уверены, что считаем реальные предметы. Бодрийяр напоминает: мы считаем знаки. Лайки под постом — знак, за которым может не быть реальных пользователей. Диплом — знак, за которым могут отсутствовать знания. Аватар — знак, за которым можно скрыть свою личность. Рынок, рейтинги, оценки, кредитные баллы — всё это системы знаков — чем больше мы считаем такие знаки, тем меньше сверяемся с реальностью: в какой-то момент она совсем исчезает, и на её место приходит симуляция.

Никто не видел Петиных и Зининых яблок, никто не видел реальность. Зато все видели только условие задачи, слова и цифры, и тут же бросались подсчитывать то, чего нет, только потому что слова в задаче показались знакомыми. Вы заходите в социальную сеть на пять минут, а через час выходите оттуда с ощущением, что мир сошёл с ума, но почему-то вам очень хочется посмотреть ещё одно видео с танцующим огурцом. Вы открываете сайт магазина, чтобы купить яблоки, но с недоумением смотрите на доставщика, когда он приносит вам яблоки, которые не соответствуют картинке. Вы решаете задачу про Петю, Зину и яблоки, хотя даже не знаете, кто это такие, потому что в мире симулякров мнение важнее факта, а эмоция важнее мнения.

И знаете, что в итоге? У задачи нет ни одного ответа, который устроил бы всех. Мир строится на вероятностях, поэтому решения зависят от того, в какой системе координат вы предпочтёте её решать. Так что давайте оставим философам их споры, марксистам — их классовую борьбу, Бодрийяру — его гиперреальность и пойдём чистить яблоки.

Кстати, сколько почистить?