Законы математики против законов жизни: рождественская сказка со счастливым финалом

По всем законам хороших медиа, в самом последнем выпуске года должна быть опубликована рождественская сказка. Журнал The Global Technology — хорошее медиа, поэтому со всем трепетом присоединяется к волнующей традиции. 
В рождественской сказке всегда должны присутствовать Эльф, Санта-Клаус, олени Деда Мороза и отчаянная вера в то, что впереди будут ждать миллион миллиардов шансов, и новый год станет чуть лучше предыдущего.



В нашей рождественской сказке есть всё. И даже больше.

Вы, конечно, в это ни за что не поверите, а зря. Не в том я возрасте, чтобы врать. Тогда вы, скорее всего, спросите: «Что же стало с твоей верёвочкой»? Ничего. Она не порвалась, не упала, не стерлась от времени, она просто исчезла. Вот так, просыпаюсь я в рождественское утро, а её и след простыл. 



Сначала я засиделся за решением гипотезы Римана, а потом увидел сон, который напомнил мне один случай, что случился со мной в далёкой молодости. Может быть он сможет пролить свет на таинственное исчезновение моего талисмана. 



Я, конечно, расскажу вам эту историю. Заодно расскажу как сумел очутиться в образе Маленького Принца, и почему иногда математике лучше оставаться в тетради. 

— И долго ты будешь тут сидеть? Холодно же, — дрожа от мороза произнёс рождественский Эльф.

Зима в этом году выдалась на редкость суровой, казалось, что все небесные силы или кто там управляет погодой, наконец-то решили собраться вместе, чтобы отомстить миру за все эти технологически – экологические эксперименты. Даже наступающее на пятки Рождество не спасало от мучительного желания поскорее добраться в тёплое место, укрыться ото всех и просто пережить эту зиму.



Машины тонули в бесконечных пробках, ветер безжалостно срывал гирлянды с крыш и фасадов зданий, метель бесстыдно швыряла прозрачный пепел на стёкла домов. Рождественский дух…. Да тут им и не пахнет!



Ещё и этот бедолага решил покончить со всеми проблемами разом, а Эльфу, конечно же, поручили его спасать. Поэтому со словами: «Иначе Рождества не будет», отправили вызволять праздник. 



Не желая выполнять напрасные приказы Санты, Эльф побродил по улицам, позаглядывал в окна домов, покрутился на стеклянной двери торгового центра и пошёл в единственное место, которое всегда его успокаивало — на высокий заснеженный утёс. 

Там он и нашёл этого растяпу, который по образу и подобию Маленького принца, в одной рубашке и стильно обмотанным вокруг шеи шарфом, сидел и дрожал в сугробе.

— Ты не понимаешь…. — простучал замерзшими зубами Маленький принц, — Ты не понимаешь.

— Ты не понимаешь…. — вновь повторил юноша и сорвал с себя шарф. 


— Это я уже слышал, — сурово пробормотал Эльф, глядя как беспощадный вихрь подхватил клетчатый шарф и со всей мощью голодного зверя, принялся перемалывать его своим ледяным жерлом. 



Эльф подул на свои ладони и посмотрел на юношу, которого он уже успел для себя окрестить Маленьким Принцем. Он удивился тому, что присутствие этого несуразного человеческого существа в его тайном месте быстро перестало его раздражать, как будто кривой утёс, засыпанный белым снегом, был сейчас этому недотепе намного нужнее. 



— Терял кого-то?



Погружённый в свои мысли Эльф вздрогнул от неожиданности:



— Я?


— Ну да, — Маленький принц удивленно пожал плечами, — Терял кого-то?


— Нет, — едва слышно пробормотал Эльф. 


— Счастливчик, — заключил принц и снова замолчал. 



Эльф, пытаясь согреться, попрыгал на месте и похлопал себя руками по плечам.



— Это вряд ли, ведь для потери кого-то нужно сперва найти.




—  Только во всей этой бриллиантовой жизненной логике с правильным порядком действий есть одна проблема.


—  Какая? — зачем-то спросил Эльф.


—  Какое действие считать первым, — спокойно ответил юноша и опять замолчал. 



Эльф от полнейшего непонимания ситуации, начал ещё больше подпрыгивать на месте. Опять этот блаженный, которому было, по всей видимости, совсем не холодно в его тонкой насквозь продуваемой рубашке, заставляет его придумывать какие-то новые варианты развития беседы. Рождество….



— Я не совсем понял, — начал терять терпение Эльф, —  Мы сейчас про жизнь говорим или про математику?


— Разве это не одно и тоже? — спокойно спросил юноша.


— Ну…. — замялся Эльф.


— Вот именно, что это – не одно и тоже, — понимающе покачал головой принц, — Я как раз имел честь убедиться в этом. И лучше бы я этого никогда не понимал. 



Эльф обескураженно захлопал глазами и быстро помотал головой, чтобы стряхнуть прилипшие снежинки со своего лица. 



— Математика даёт слишком простые объяснения и всегда упирается в грозную, ничем несокрушимую скалу под названием «жизнь». И если для физиков гравитация – безжалостная с*ка, — принц осёкся и посмотрел вниз, — То для математиков…

Эльф окончательно потерял суть беседы. Он не понимал что ему делать дальше —  утешать юношу и говорить о том, что всё обойдётся и, прости боже, убеждать, что на математике жизнь не заканчивается. Напомнить этому нагловатому принцу, что сегодня, вообще-то сочельник, и неплохо было бы сойти вниз, чтобы изобразить ощущение праздника. Или, наконец, объяснить самому себе, почему он до сих пор тратит своё время на этого замученного скукой психопата.



Но чем больше он перебирал в своей голове варианты, тем больше ему хотелось разгадать все мысли этого человеческого существа.



— Я вот, совсем не понимаю математики, — Эльф попытался утешить принца.


— А что её понимать? — флегматично откликнулся юноша, — Ты на ней сидишь, ты на ней стоишь, ты на неё смотришь.



Эльф растерянно посмотрел по сторонам, но ничего, кроме принесенного ветром разноцветного конфетти и торчащей из под снега корки мандарина, он не увидел.

— Математика – это про фрукты? — забирая кожуру из рук принца спросил Эльф. 



— Конкретно этот математический парадокс про выбор, — так же хладнокровно ответил принц, — Только вот кому придёт в голову делать из одного мандарина два, и кому в здравом уме захочется принимать аксиому выбора?  



Эльф задумался. Он отчётливо вспомнил слова Санты: «Сегодня спасать мир будешь именно ты!» Как же ему не хотелось принимать на себя эту одновременно возвышенную и бестолковую роль.

— Но когда-то же ты должен принимать на себя выбор, — попытался возразить Эльф, — Например, когда тебя зовёт долг.



— Когда ты должник, тебя не существует, ты – минус один,  — спокойно возразил ему принц, — Тебя нет, а долг есть. 



Эльф с сомнением посмотрел на безумного юношу. 



— Это тоже просто. Мы знаем, что 1 + 1 = 2, потому что, когда у нас есть рождественский подарок и нам дают ещё один, у нас будет две коробочки, перевязанных ленточкой. Мы знаем, что 2 − 1 = 1, потому что, имея два одинаковых подарка, мы отдаём один, у нас остаётся ещё один. Но что значит 2 − 3? Если Санта подготовил всего для подарка, он не сможет подарить три. Однако предположим, что он всё же может это сделать — тогда у него останется минус один яркий свёрток. Что же значит «минус один свёрток»?

— Честно говоря, я тоже так считаю, — попытался рассуждать Эльф, — Как ты можешь отдать то, чего у тебя нет? И как это можно сосчитать?

— И это-просто, — юноша, не обращая внимание на нестерпимый холод, оживился — Долг минус ноль — это долг. Имущество минус ноль — это имущество. Ноль минус ноль — это ноль. Долг, вычтенный из нуля, — это имущество. Имущество, вычтенное из нуля, — это долг. И так далее…И, заметь, что совершенно не имеет значения размер долга, его выражение, выражение глаз должника. Имеет значение только что-то отрицательное или только что-то отрицательное имеет значение. Есть ли в этом логика?

Эльф задумался. Всё о чём говорил юноша, показалось ему очень знакомым. Может быть, этот парнишка не такой уж и сумасшедший?



— Завтра рождество и ты вместе с Сантой пойдшь раздавать подарки тем, кто не сидит по ночам на холодных утёсах, и не мечтает о том, чтобы самому превратиться в утёс, — Маленький принц отряхнулся от снега, — Твой подарок примут и на утро поблагодарят – это хорошо, это – плюс. Но будут и те, кто даже не захочет твой подарок открывать – это – плохо, это – минус. Что нам говорит на это царица наук? 

— Минус на минус даёт плюс, — машинально произнёс заученную фразу Эльф.

— Бинго! — выкрикнул юноша, — Только что ты из этого запомнишь, если допустить, что каждая реакция человека будет тебе известна? Только плюсы или только минусы? Что для тебя будет иметь значение, а?«Не моё, не подходит». Как из этого сделать плюс? И что на это теперь скажет математика?

Эльф раздосадованно пожал плечами. Он представил все упрямые обидные ярлыки, которые ему давали в жизни в виде палочек хвороста, потом представил как собирает из них большую башню. Потом он представил как все эти жестокие минусы будут складываться в плюсы, и прямо почувствовал своим промёрзшим нутром, что упрямые отрицательные хворостинки никогда и ни за что не сложатся даже в один самый маленький плюс. Кто вообще придумал эту глупость с минусами и плюсами?

— Аааа, —  с улыбкой протянул Эльф, услышав что-то знакомое, —  Это по той, где много раз подбрасывают монетку, потом общее количество бросков делят на число выпавшей стороны и получают результат. 

— Простое объяснение, не так ли? — поддержал Эльфа принц, — Подбросил, посчитал, зафиксировал. Ещё раз подбросил, поделил, зафиксировал. Сделал выборку – всё точно. 

—  Ну да, — забыв про лютый мороз, откликнулся Эльф, — Всё просто и точно. 

—  Ага, —  согласно кивнул принц, который теперь больше стал похожим на снеговика, — Только вот ты никак не мог предположить, что встретишь меня. 



«Да как он это делает», подумал Эльф. Ну как можно было предположить, что из всей доблестной команды зелёных человечков Санта укажет именно на него. Да и вообще как можно было предположить, что из всех нормальных добропорядочных горожан он нарвётся именно на этого лунатика. Да и что там говорить, вероятность того, что в канун Рождества кто-то будет сидеть на утёсе и сокрушаться по поводу утраченной точной науки, явно равнялась нулю. 



Эльф снова почувствовал холод и от этого запрыгал на месте. 



— Но ведь математика – точная наука и я всегда думал, что теория вероятности тоже, раз она опирается на достоверные данные, — не веря собственным словам пробормотал Эльф. 

Маленький принц, наконец-то, встал и стряхнул с себя снег.



— Она была такой, — делая из собранного снега комок, сказал он, — Пока не вмешалась жизнь. 



Эльф заботливо стал помогать принцу стряхивать снег со спины. 



— Математики действительно долго проделывали фокус с монеткой и записывали результат, из которого получалась красивая статистика, пока в один прекрасный день они не заметили, что результат больше похож на враньё. 


— Монетка врёт? —  предположил Эльф.


— Не монетка. Врут руки подкидывающего, врёт встречный поток воздуха, врёт сила с которой нужно подбрасывать монетку, врёт ладонь, на которую она опускается, даже настроение участников во время всех этих экспериментов врёт.

—  Именно так и сказали математики, когда поняли, что используют слишком мало данных для того, чтобы результат был точным. 



Эльф тоже подошёл к краю утёса и кинул свой снежок. 



— Но должен же быть какой-то выход, — с надеждой посмотрел он на принца. 


— О, да, — с невесёлой ухмылкой сказал принц, — Их оказалось даже два. Одни математики объявили о том, что существуют некие тёмные данные, которые любой эксперимент учесть не в силах. Другие сделали из этого целый закон больших чисел — чем больше данных, тем точнее результат. 


— Ну вот, — радостно откликнулся Эльф и сделал ещё один комок. 


— Только вот математика никак не могла учесть, что со мной на утёсе сегодня окажется Эльф. В точный расчёт снова что-то вмешалось.

Маленький принц обречённо покачал головой и подставил своё лицо ветру.



— Да пойми ты, наконец, я тоже объяснял всё просто, и самое удивительное, что всё происходящее в жизни входило в эту точную модель. Даже этот снег и этот ветер, вся падающая на нас с неба вода. Из морей и океанов вода испаряется и поднимается на небо, там она остывает и собирается в капельки. Когда очень холодно, капли воды замерзают в кристаллики льда, они выпадают на землю в виде снега. То есть постоянно деформируются, непрерывно. И вот так между двумя объектами, между снегом и сугробом образуется взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное соответствие. Даже из обычной кружки можно путём непрерывных деформаций сделать бублик, а из людей… Сколько раз ты ради кого-то менялся, деформировался? И что, стал от этого кому-то ближе? Образовалось то самое взаимно – однозначное?



Эльф, наконец, понял о чём говорит юноша. Он понял почему Санта послал спасать Рождество именно его. Он поняли для чего ему самому была нужна эта встреча. 



Эльф впервые за всё это время решился посмотреть в глаза этому необычному полусвихнувшемуся человеку. Он загородил хрусталики льда, которые обжигали лицо юноши, своей спиной, от чего коварные ледышки, гонимые ветром, начали кусать его за спину. Эльф закричал.



— Разве это проблема? Разве это проблема? Ты сейчас утратил веру в точность своей науки, — сгибаясь от снега, спросил Эльф, — Люди утратили веру в настроение, в Рождество, в чудо, в белобородого старика, который раздаёт подарки, в меня. Люди верят в рекламу и Кока-Колу, которая привозит им коричневые бутылочки с праздником. Потому что рациональное входит в жизненную модель, а чудо – не входит. У нас, знаешь ли, Приятель, тут своя математика. 



Юноша резко повернулся на месте, затем начал ботинками утаптывать снег вокруг себя. Он делал это ещё и ещё, пока весь снег на утёсе не стал равномерно – полым.



— Это как раз не проблема, — страстно начал рассуждать Маленький принц, — Допустим, что людей, которые знают, что есть Санта, олени, Эльфы и Рождество, гораздо больше, чем тех, которые ваше существование отрицают. Изобразим их в виде единичной окружности вокруг точки О — источника рождественских чудес. 



— Ну, — неохотно поддержал такую идею Эльф. Он всё ещё не мог прийти в себя от внезапно нахлынувших эмоций. 



— Выберем горизонтальную ось в качестве истинной веры, а вертикальной осью обозначим прямо противоположную жизненную модель, в которую чудеса не входят. Эти противоположные оси поделили круг на 4 части. Представил?

«Делать мне больше нечего», подумал про себя Эльф, но чтобы не обижать замёрзшего принца, быстро закивал головой. 



— Враги духа Рождества сосредоточены на прямой AL, направленной вертикально, то есть вопреки истинной вере и истинному знанию. Окружность, которая изображает сам праздник и прямая врагов Рождества касаются в точке A. Именно сюда направлен удар вектора OA, который должен сломить прямую AL, чтобы сломить дух тех, кто продолжает верить в чудо. Так?




Эльф снова отчаянно закивал головой, а маленький принц начал рисовать круг в воздухе и протыкать его невидимыми линиями.



— Чтобы ослабить нажим на точку A, враги Рождества создают отвлекающие места вроде The Coca-Cola Company или точки L.  Привлеченный точкой L, заблудший обыватель, будь то скуф, либерал или хипстер, избирает своим путем прямую OL и оказывается в точке K (если он когда-то получал подарки от Санты и остается на единичной окружности верящих в него). Таким образом, сбившийся с пути человек, в ожидании праздника, уходит от цели A на длину дуги AK, которая также равна величине угла AOK в радианах. При этом отрыв человека от вектора праздника OA равен расстоянию от точки до прямой, то есть длине перпендикуляра KH. Обозначим угол заблуждения человека, который не верит в Рождество AOK переменной x. Тогда его отрыв KH от истинного пути составит sin x, а отрыв его идеала L от места подлинной борьбы его соотечественников tg x.

Эльфу стало жарко от всех этих терминов и сбивчивых объяснений принца, но юношу уже было не остановить. 


— Теперь ответим на вопрос: насколько легко человека, который верит в рождественское чудо можно отвратить от истинного пути, введя его в заблуждение? — Маленький принц на секунду задумался, — Он может быть переформулирован в виде вопроса о существовании и величине предела. Действительно, этот предел покажет, как сильно изменится величина sin x по сравнению с x, если x из нуля сделать чуть больше нуля. Точно!

Воодушевленный принц забегал вокруг Эльфа.



— Рассмотрим треугольник OAL напряженности отношений между приверженцами Рождества и его врагами, порожденный отвлекающей точкой L. В нем лежит сектор чуда OKA, вовлеченный в эти отношения. В секторе, в свою очередь, лежит треугольник OKA, соответствующий напряженности между тем, кто не верит в Рождество и истинной верой OA. То есть следует такая зависимость между площадями:

SΔOKA < SsectOKA < SΔOAL

Применяя геометрические уловки, вычисляем эти площади:

SΔOKA = 1/2·|OA|·|KH|= 1/2·1·sinx = sinx/2

SsectOKA = 1/2R²x = x/2

SΔOAL = 1/2·|OA|·|LA| = tgx/2

И переписываем наше соотношение в лаконичном виде, доступном пониманию не только Эльфу, обеспокоенным судьбой духа Рождества, но и простому математику:

sinx/2 < x/2 < tgx/2

Маленький принц запрыгал от радости так, что по его лицу покатилась капелька пота, которую тут же слизал студёный ветер.



— Ты понимаешь что мы только что поняли? Ты понимаешь? — обратился он к Эльфу, —  Для введения в заблуждение человека, который верит в Рождество, врагам Рождества приходится предпринимать усилия, большие, чем эта вера!

— Здорово, наверное, — невнятно произнес совершенно сбитый с толку Эльф.



— Конечно здорово, — согласился с ним юноша, — Это подтвердила строгая и точная наука. Мы видим, что дробное отношение заблуждения и прилагаемых к нему усилий меньше единицы, чему мы уже радовались ранее. И ещё мы знаем, что cos 0 = 1, так что под конвоем несложной тригонометрии наше отношение sin x / x успешно стремится к единице при уменьшении x до нуля.

То есть вблизи истинного пути человека, который верит в Рождество, отклонение неверующего примерно равно его заблуждению, а в дальнейшем его прирост и вовсе ослабевает. Ведь дух Рождества и вера в чудо держат людей на единичной окружности и не дают им соскользнуть в бесконечные прямые разврата. Кстати, в математике это равенство называется первым замечательным пределом. Правда…

— Что? — оживился Эльф.

Маленький принц ещё раз нарисовал окружность в воздухе и заметно помрачнел. 

— Правда, если нам захочется, чтобы никакие заблуждения не могли сбить человека, который верит в рождественское чудо с его пути, то нам нужна будет новая геометрия, в которой

Юноша замолчал и сел на край обрыва, следом за ним проследовал Эльф.



— Я всегда видел мир именно так, — начал сокрушаться принц, когда Эльф сел с ним рядом, — Через вот такие простые объяснения. 



«Простые объяснения», — подумал Эльф, — «Я вот, например, сейчас вообще ничего не понял».

— Каково это быть эльфом? — спросил принц своего притихшего спутника. 



Эльф вздрогнул. Он никак не мог привыкнуть к внезапным вопросам юноши. 



— Я об этом никогда не задумывался, — наморщил лоб Эльф, — Кажется мы созданы для того, чтобы система работала. Делаем игрушки, присматриваем за оленями, проводим разведку, чтобы узнать кто вёл себя хорошо, кто не очень, обеспечиваем стабильность, следим за безопасностью Санты. Да на нас, эльфах,  держится абсолютно всё! А когда наступает Рождество, вся благодарность достаётся Санте и, как ни странно, его оленям. Все знают их имена, а нас называют просто «Эльф» ну и иногда, правда, номер ещё приписывают. Эльф с номером, жалкое зрелище. 



— Значит ты – синус.



— Какой ещё синус?



Эльф забеспокоился. Парнишка явно долго сидел на этом утёсе раздетым. Видимо ветер и метель сделали своё дело, вот он и несёт чушь. 



— Ты делаешь всё то, что делает синус, — принц прервал тревожные мысли Эльфа, — Когда мы только начинаем познавать изящество математических объектов, нас тянет к сложным кривым — эпитрохоидам, конхоидам Никомеда, гипотрохоидам, овалам Кассини и ….



Принц снова набрал в ладони горсть снега и начал лепить из неё цветок. 


— Так вот уравнения всех этих кривых, которые я описал, выражаются через тригонометрические функции. А в их основе всегда оказывается синус — незаметный, но незаменимый. Когда Пифагор впервые озвучил свою теорему, мы узнали понятие «косинус угла», а синус появился уже позднее, как что-то пустячковое, лишнее. Мне тоже всегда было обидно за синус, ведь это он – главный, косинус лишь его дополнение. Синус — это стабильность. Синус не предаст, он не может неприятно удивить. За синус не стыдно. Он не будет жаловаться на жизнь, а вот синусу пожаловаться на жизнь может каждый желающий. Каждому человеку близок синус: без –1 нет 1, без ёлки нет Рождества.



— Без выбора нет верности, без преодоления трудностей не познаешь счастья, — поддержал юношу Эльф.



Принц с благодарностью закивал.



— Понимание синуса приходит с мудростью и опытом, как и понимание всей важности процессов, которые делают незаметные «эльфы». По крайней мере так говорит математика. 



На слове «математика», юноша взял розу, которую так старательно лепил несколько минут назад, и запустил её в небо. 



— Неужели точная наука опять врёт? — осторожно спросил Эльф.



Принц принял позу персонажа известной рождественской рекламы:



— Соблюдай принцип дробей и пропорций, если кого-то хвалишь и пьёшь, тогда веселье, похмелье, и зависть ты с лёгкостью перенесёшь! Увеличивай штат, применяй умножение, и любое желание придет в исполнение! Имеешь маленький синус и крупный живот? Повернись на π/2 и он подрастет! Рост не всегда линейный, он может замедляться, тогда на самом старте придётся постараться! Секи сеченьем золотым друзей на фотографии, чтобы потом они тебя хвалили в эпитафии!



Эльф захлопал в ладоши онемевшими от мороза руками, но ощутив новый прилив холода, снова запрыгал на месте.



— Так ты ещё и поэт, — с уважением сказал он юноше. 

— Я-дурак! — со всем отчаянием произнёс принц, — Я верил! Я верил в эти законы! Я верил в то, что когда не складывается, нужно вычесть. И знаешь что я делал? Я вычита́л. Я верил в законы симметрии, поэтому всегда поступал честно. Я живу по-другому, молюсь, помогаю бездомным, я пожертвовал денег больницам и детским домам. Я сумел научиться любить это странное солнце, и ещё этот дождь, этот снег, что крошится сейчас. 



— И что? — аккуратно спросил Эльф.



— А они мною тушат свечи, приглашают на праздник е-мейлом и молятся, чтоб не пришёл. Не работают все эти точные законы. И никогда не будут работать. 



Маленький принц замолчал. Эльф посмотрел на звёздное рождественское небо
— где-то там в мастерской Санты идут последние приготовления к празднику. На оленей надета золотая упряжка, красный увесистый мешок с подарками ждёт своего часа, чтобы отправиться в путь, люди повсеместно зажигают рождественские огоньки. Кто-то достаёт из духовки ароматный штоллен, кто-то с аппетитом смотрит на румяную индейку, кто-то разрезает напополам сочного цыплёнка, кто-то с гордостью вынимает из холодильника холодец. 

Юноша с надеждой посмотрел на Эльфа и в этот момент маленький зелёный человечек впервые увидел улыбку на его лице. 



— По легенде, — продолжил Эльф, — каждому эльфу при рождении вешают на шею маленький мешочек, в котором, по той же самой легенде, всегда лежит кусочек чистого золота. На самом деле, никакого золота в этом мешочке нет. Вот, смотри.



Эльф аккуратно снял со своей шеи маленькую кожаную верёвочку, на которой висел крохотный кусочек коричневого материала.



— В этом мешочке лежит подарок, который каждый эльф может подарить всего один раз. И я дарю этот подарок тебе.



Эльф подошёл к юноше вложил к нему в руки самое дорогое. 



Юноша смущённо принял подарок и начал его разворачивать. 



— Я дарю тебе жизнь, — сказал Эльф и попрощался.



Маленький принц ещё раз посмотрел на рождественское небо. Ему показалось, что там, в тёмной бесконечности для него зажглась новая звезда, непохожая на остальные звёзды. Она ярко подмигивала ему серебряным светом, а когда свет от неё рассеялся, на небе появилась надпись: «Смотри, Дурак! Не торопись считать!»